Lei de Biot-Savart

A lei de Biot-Savart é uma expressão matemática que permite calcular o campo magnético em qualquer ponto no espaço gerado por um elemento de um fio com uma corrente elétrica. Graças a essa simples fórmula, podemos fazer essa crucial relação entre os fenômenos elétricos e magnéticos que fazem parte de um mesmo ente físico, o eletromagnetismo.

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Resumo sobre lei de Biot-Savart

• A lei de Biot-Savart é uma expressão matemática que permite calcular o campo magnético em um ponto específico do espaço gerado por um fragmento de um fio com uma corrente elétrica.
• Fórmula da lei de Biot-Savart: \(\Delta B = \frac{\mu_0}{4 \cdot \pi} \cdot \frac{i \cdot dl \cdot \ sen(\alpha)}{r^2}\)
• Exemplos de aplicações: discos rígidos, trens magnéticos e eletroímãs.
• História: após os experimentos de Oersted em 1820, os físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart deram explicações mais robustas do fenômeno e formularam a lei de Biot-Savart.

O que diz a lei de Biot-Savart?

A lei de Biot-Savart é uma expressão matemática do eletromagnetismo que quantifica o campo magnético gerado por um elemento (um trecho muito pequeno, um fragmento) de um circuito elétrico em determinado ponto fora do fio.

A lei diz que o campo magnético gerado pelo elemento, no ponto que se deseja medir o campo, é diretamente proporcional à corrente elétrica, ao comprimento do elemento e ao seno do ângulo entre o elemento e o ponto; e inversamente proporcional ao quadrado da distância do elemento ao ponto.

Tendo como princípio básico que cargas eletricamente carregadas em movimento geram campos magnéticos, então uma corrente elétrica em um fio condutor também produz um campo magnético no espaço que o cerca.

Fórmula da lei de Biot-Savart

O campo magnético ΔB, gerado em determinado ponto A por um elemento de comprimento dl, com uma corrente elétrica I, é dado pela lei de Biot-Savart:

\(\Delta B = \frac{\mu_0}{4 \cdot \pi} \cdot \frac{i \cdot dl \ \cdot \ sen(\alpha)}{r^2}\)

• \(μ_0=4⋅π⋅10^{-7} T⋅m/A\) é a constante de permeabilidade magnética do vácuo.
• r → distância do elemento até o ponto que se deseja medir o campo magnético.
• α → ângulo entre o elemento e o ponto.

Para que serve a lei de Biot-Savart?

A lei de Biot-Savart, uma das equações mais importantes do eletromagnetismo, é extremamente valiosa para a vida cotidiana, já que constitui a base para inúmeros dispositivos eletromagnéticos dos quais a sociedade moderna se tornou dependente. Os campos magnéticos produzidos por correntes elétricas estão em todos os aparelhos que gravam e leem informações em forma magnética, como os discos rígidos dos computadores. Esses campos também estão presentes em trens levitados magneticamente e outras máquinas usadas para levantar grandes pesos, como os eletroímãs.

História da lei de Biot-Savart

Até o começo do século XIX, não se conhecia a relação entre a eletricidade e o magnetismo. Em 1820, o físico dinamarquês Hans Christian Oersted (1777-1851) notou que o polo da agulha de uma bússola (agulha imantada ou magnetizada) defletia quando próximo de um circuito elétrico ligado, e quando o sentido da corrente elétrica era invertido, alterava o polo defletido.

Após verificar a repetição desse fenômeno por meio de alguns experimentos, ele propôs que toda corrente elétrica gera ao redor de si um campo magnético, mas sem uma demonstração matemática desse fenômeno. Em busca de explicações mais robustas, os físicos ses Jean-Baptiste Biot (1774-1862) e Félix Savart (1791-1841) apresentaram relatos mais convincentes e mensuráveis, deixando suas conclusões conhecidas como a lei de Biot-Savart.

e também: Lei de Ampère — outra importante lei do eletromagnetismo

Exercícios resolvidos sobre a lei de Biot-Savart

Questão 1

Calcule o campo magnético, em um ponto a 0,5 m de distância de um fragmento dl = 0,01 m, de um fio desencapado com uma corrente elétrica de 100 A. Considere que o ângulo é α = 45°.

A) 3,6961 ⋅ 10^-9 T

B) 1,9467 ⋅ 10^-8 T

C) 5,7367 ⋅ 10^-7 T

D) 2,8284 ⋅ 10^-7 T

E) 3,4421 ⋅ 10^-6 T

Resolução:

Alternativa D.

Usando a fórmula da lei de Biot-Savart:

\(\Delta B = \frac{\mu_0}{4 \cdot \pi} \cdot \frac{i \cdot dl \cdot \ sen(\alpha)}{r^2}\)

\(\Delta B = \frac{4 \cdot \pi \cdot 10^{-7}}{4 \cdot \pi} \cdot \frac{100 \cdot 0{,}01 \cdot \ sen(45^\circ)}{(0{,}5)^2}\)

\(\Delta B = \frac{0{,}7071 \ \cdot \ 10^{-7}}{0{,}25} \)

\(ΔB=2,8284 \cdot 10^{-7} T\)

Questão 2

Considerando o exercício anterior, agora calcule o campo magnético gerado em um ponto no fio ao lado do fragmento dl, ou seja, um ponto em que o ângulo formado é α = 0.

A) 0

B) 1 T

C)  2,8284 ⋅ 10^-7 T

D) 4 ⋅ 10^-7 T

E) 100 T

Resolução:

Alternativa A.

Usando a fórmula da lei de Biot-Savart:

\(\Delta B = \frac{\mu_0}{4 \cdot \pi} \cdot \frac{i \cdot \ dl \ \cdot \ sen(\alpha)}{r^2}\)

\(\Delta B = \frac{4 \cdot \pi \cdot 10^{-7}}{4 \cdot \pi} \cdot \frac{100 \cdot 0{,}01 \cdot sen(0)}{r^2} \)

\(ΔB=0 \)

Fontes

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Eletromagnetismo (vol. 3). 9 ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2012.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Eletromagnetismo (vol. 3). 2 ed. São Paulo: Editora Blucher, 2014.